若一实系数多项式的根全为实根，则他的各阶导数的根全为实根，求证明

n次实系数多项式f(x)的根全为实数，则可以表示成f(x)=a(x-x(1))(x-x(2))...(x-x(n)), a≠0， 则
f'(x)=a(x-x(2))(x-x(3))...(x-x(n)) + a(x-x(1))(x-x(3))(x-x(4))...(x-x(n)) + ... + a(x-x(1))...(x-x(n-1))，
不妨设x(1) < x(2) < x(3) < ... < x(n)，先不考虑重根的情况，容易验证
f'(x(1))f'(x(2)) < 0，f'(x(2))f'(x(3)) < 0， ... ，f'(x(n-1))f'(x(n)) < 0，
所以f'(x)在(x(1), x(2)), (x(2), x(3)),..., (x(n-1), x(n))这n-1个区间内各有一个根，所以f'(x)的根全为实数。
如果f(x)有重根，则可设x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤... ≤ x(n)，若x(k)f'(x)在(x(k), x(k+1))内有一个实根；若x(k)=x(k+1)=...=x(k+m)，m≥1，容易验证x(k)是f'(x)的m重根，所以这时仍然可得f'(x)有n-1个实根。
所以一阶导数f'(x)的根全为实数，令g(x)=f'(x)，因为g(x)的根全为实数，则由上面的结论可得
f''(x)=g'(x)的根全为实数。对多项式的次数n用数学归纳法可得，f(x)的各阶导数的根全为实数。

证明有限