利用二重积分几何意义计算

二重积分的几何意义是曲顶柱体体积，具体本题是高为1，底面为半径等于2的圆面的1/4（90°的扇形），该积分S=π2^2/4×1=π。

D域由y=√(1-x)和y=0所围成，在平面直角坐标里，这是园心在原点半径r=1的园的上半部份；在立体直角坐标里，这是在xoy平面里的园的右半部份。

被积函数z=√(1-x+y)是球心在原点，半径r=1的园球的上半部份。

二重积分的几何意义，就是以上述半圆为底面的1/  4球体的体积。

故I=(1/4)•(4/3)πr³=(1/3)π。

意义：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

D域由y=√(1-x)和y=0所围成，在平面直角坐标里，这是园心在原点半径r=1的园的上半部。

份；在立体直角坐标里，这是在xoy平面里的园的右半部份。

被积函数z=√(1-x+y)是球心在原点，半径r=1的园球的上半部份。

二重积分的几何意义，就是以上述半圆为底面的1/  4球体的体积;

故I=(1/4)•(4/3)πr³=(1/3)π。

积分的线性性质

性质1、（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。

性质2、（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数）。

性质3、设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积。

由二重积分的几何意义知，此二重积分表示半径为R的上半球的体积，因此
原式=1/2×(4π/3）×R^3=(2πR^3)/3