证明：记f(x)=x^3+ax^2+bx+c,
(1) 如果c<0,即f(0)<0.则f(x)=x(x^2+ax+b)+c,令g(x)=x^2+ax+b,由于此二次函数开口向上，则x趋于正无穷大时，g(x)也是趋于正无穷从而存在一个正数x0>|c|,使得g(x0)>|c|+1,因此f(x0)>|c|(|c|+1)+c>0,从而在区间（0，x0），由f(x)的连续性知，f(x)至少有一根.
(2)如果c>0,即f(0)>0,类似当x趋于负无穷时,g(x)趋于正无穷，因此存在一负数x1<-|c|，使得g(x1)>|c|+1,从而有f(x1)<-|c|(|c|+1)+c<0,同样f(x)在区间（x1,0）上连续，有连续性介值定理，故至少有一根.
综上所述，f(x)=0至少有一根。
上面证法用到了极限的保号性。不懂可发问。望楼主采纳！！
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