设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2),给出以下四个论断:①它的图象关于直线x=π12对称

2025-03-06 11:27:28
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回答1:

(1):①③?②④.
由①得ω×
π
12
+?=kπ+
π
2
,k∈z.  由③得ω
π
3
+?=kπ,k∈z.
又∵ω>0,?
π
2
<?<
π
2
,故有ω=2,?=
π
3

f(x)=sin(2x+
π
3
)
,其周期为π.
2kπ?
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
,可得 kπ?
12
≤x≤kπ+
π
12

故函数f(x)的增区间为[kπ?
12
, kπ+
π
12
].
[?
π
6
,0]?[?
12
π
12
]
,∴f(x)在区间[?
π
6
,0
]上是增函数,
故可得 ①③?②④.
(2):还可①②?③④.
由②它的周期为π,可得ω=2,故 f(x)=sin(2x+?).
由①得  2×
π
12
+?=kπ+
π
2
,k∈z.再由 ?
π
2
<?<
π
2
可得φ=
π
3
,故函数f(x)=sin(2x+
π
3
).
显然它的图象关于点(
π
3
,0)对称,由(1)可得 f(x)在区间[?
π
6
,0
]上是增函数.
故可得 ①②?③④.
故答案为 (1):①③?②④;  (2):①②?③④.