推导对数正态分布数学期望的积分过程

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]，就是均值是u,方差是t^2。

于是：

∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域。

（1）求均值

对（*）式两边对u求导：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆开,再移项：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.

(2)方差

对(*)式两边对t求导：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移项：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好凑出了方差的定义式,从而结论得证。

扩展资料：

二重积分的现实(物理)含义：面积 × 物理量 = 二重积分值。

举例说明：二重积分的现实(物理)含义：

1、二重积分计算平面面积，即：面积 × 1 = 平面面积。

2、二重积分计算立体体积，即：底面积 × 高 = 立体体积。

3、二重积分计算平面薄皮质量，即：面积 × 面密度 = 平面薄皮质量。

二重积分的定义式：

其中

xxx与yyy叫做积分变量，f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被积函数，dσd\sigmadσ叫做面积元素，DDD叫做积分区域。

参考资料来源：百度百科--二重积分

没有太简单的方法了

两次换元法，可以化成概率积分的形式

这个积分的结果可以直接用

所以，也不算太麻烦

过程如下：

利用矩母函数避免复杂积分