通常给出的极限唯一性的证明并不涉及题主所说的内容。它采取的思路是：设函数f(x)当x趋于x0时有两个极限a与b，证明a与b相等。
所采取的手段是：证明对于任意给定的ε＞0，都有|a-b|＜ε。（这样就必有a＝b。假若不然，有|a-b＞0，取ε0＝1/2 |a-b|，就会导致|a-b|＜1/2 |a-b|，矛盾！）
而由极限是a，存在δ1＞0，当0＜|x-x0|＜δ1时，|f(x)-a|＜ε/2. ①
又由极限是b，存在δ2>0，当0＜|x-x0|＜δ2时，|f(x)-b|＜ε/2. ②
取δ＝min{δ1,δ2} 则当0＜|x-x0|＜δ时，同时有①、②成立。于是
|a-b|＝|[f(x)-a]-[f(x)-b]|
≤|f(x)-a|+|f(x)-b|＜ε/2+ε/2＝ε.
∴ a＝b.
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