一元二次方程有整数根条件

【例1】m是非负整数，且关于x的一元二次方程

(1－m2)x2+2(1－m)x－1=0有两个实数根，求m的值及对应方程的根。

分析：本题关键是求m的值。因已指明此方程是一元二次方程，所以

二次项系数不等于零(1－m2≠0)，在此前提下，因方程有两个实数根，所

以△≥0。再结合m为非负整数，从而求出m的值，把m值代入原方程进而求

出方程的解。

给你举个例子，下面的自己求吧。
解： ∵ 方程是一元二次方程，且有两个实数根，

∴1－m2 ≠0且△=4(1－m)2+4(1－m2)≥0

∴ m≠±1且 m≤1

又∵m为非负整数，

∴m=0

把m=0代入原方程，原方程变为：

x2+2x－1=0

∴ x=－1±√￣

答：（略）

【例2】试判断关于x的方程(m－1)x2+2mx+m+3=0的根的情况。

分析：有些同学对此题不求甚解，看到是关于判断根的情况，就立即

求△的值，实际上本方程虽是一元二次方程的形式，但并未指明一定是一

个一元二次方程，所以还应对方程的属性（即二次项系数）进行讨论。

解：(ⅰ)当m－1=0，即m=1时，方程变为：

2x+4=0 ，∴x=－2

(ⅱ) 当m－1≠0时，方程是一元二次方程，

△=(2m)2－4(m－1)(m+3)=4(3－2m)，

此时分以下三种情况讨论：

①当△＞0，即4(3－2m)＞0时，m＜2/3，

即m＜2/3时，方程有两个不相等的实数根；

②当m=2/3时，方程有两个相等的实数根；

③当m＞2/3时，方程没有实数根。

比较例1和例2，例1指明了方程是一元二次方程，所以二次项系数

1－m2≠0,在此条件下可以直接利用根的判别式去判定根的情况，而例2虽

是一元二次方程的形式，但并未指明是一元二次方程，一定要针对m取值

分情况讨论。

【例3】已知关于x的二次三项式mx2－2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能

分解因式，试判断方程(m－5)x2－2(m+2)x+m=0根的情况。

分析：因已指明mx2－2(m+2)x+(m+5)是二次三项式，所以二次项系数m

≠0，又因在实数范围内不能分解因式，所以其相应的一元二次方程mx2－2

(m+2)x+(m+5)=0无实数根，求出m的取值范围，在此取值范围下，再分情况

讨论后面方程根的情况。

解：∵ mx2－2(m+2)x+(m+5)是二次三项式,

∴m≠0

又∵在实数范围内不能分解因式，

∴mx2－2(m+2)x+(m+5)=0无实数根，

∴△1=4(m+2)2－4m(m+5)=16－4m＜0

∴m＞4

当m＞4时，对于方程(m－5)x2－2(m+2)x+m=0来说，

①若m=5，则方程变形为一个一元一次方程：－14x+5=0， x=5/14

此时方程只有一个实数根；

②当m＞4且m≠5时，方程是一元二次方程，

△2=4(m+2)2－4m(m－5)=36m+16＞0

此时方程有两个不相等的实数根。

答：(略)。

bˇ2-4ac>=0