收敛函数一定有极限,有极限的函数一定收敛吗？

收敛函数一定有极限，有极限的函数一定收敛。

函数列

 在D上一致收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m,n>N时，对一切x∈D，有

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|数列存在唯一极限。

扩展资料：

函数列{fn}具有极限函数的充要条件是：对任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|fn(x)-f(x)|<ε。通常这个N不仅与ε有关，也与自变量x有关，就算ε不变，当x发生改变时，N也会随之改变。

但是，如果某一函数列能找到这样一个正整数N，它只与ε有关，而对定义域（或其某个子集）上的任意一点x这个N都适用。

即对任何x∈D（D是函数列的定义域或其某个子集），只要n>N时，就有|fn(x)-f(x)|<ε。对于函数列的这种性质我们给它一个专门的名词，这就是下面要介绍的一致收敛。

收敛函数一定有极限，有极限的函数不一定收敛。

函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。

根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。

有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。

扩展资料

函数列{fn}具有极限函数的充要条件是：对任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|fn(x)-f(x)|<ε。通常这个N不仅与ε有关，也与自变量x有关，就算ε不变，当x发生改变时，N也会随之改变。

但是，如果某一函数列能找到这样一个正整数N，它只与ε有关，而对定义域（或其某个子集）上的任意一点x这个N都适用。

即对任何x∈D（D是函数列的定义域或其某个子集），只要n>N时，就有|fn(x)-f(x)|<ε。

是的。收敛函数是一定有极限的。根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。

有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。

由于函数极限和数列极限可以通过归结原则联系起来，所以要证明函数收敛，可以转化为证明数列收敛。而数列收敛的柯西准则上面已经证明了，所以把已知条件转化为求数列极限是证明的重心。

归结原则（或称海涅定理）：设f(x)在x0的某个去心邻域（或|x|大于某个正数时）有定义，那么充要条件是，对在x0的某个去心邻域内的任意收敛于x0并且满足xn≠x0的数列{xn}（或绝对值大于某个正数的任意发散到无穷大的数列{xn}），都有数列{f(xn)}收敛到A。

收敛函数定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|

扩展资料：

迭代算法的敛散性：

1.全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

2.局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

参考资料来源：百度百科-柯西收敛准则

参考资料来源：百度百科-收敛

函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。
数列或者级数，才喜欢说收敛。“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。
你想问的是不是：“收敛一定有界，有界是不是一定收敛呢？”
回答是：收敛一定有界，有界不一定收敛。