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s维向量a1,a2.....as线性无关，且可由向量组b1,b2...br线性表出，证明：向量组b1,b2....br的秩为s

2025-02-24 03:54:15

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回答1：

证明: 因为 a1,a2.....as 可由 b1,b2...br线性表出
所以 r(a1,a2.....as ) <= r(b1,b2...br)
因为 a1,a2.....as 线性无关
所以 r(a1,a2.....as ) = s
所以 r(b1,b2...br) >= s
又因为向量组是s维向量, 所以 r(b1,b2...br) <= s
故 r(b1,b2...br) = s.

回答2：

证明:
因为s维向量a1,a2.....as线性无关，所以a1,a2.....as的秩是s, 且a1,a2.....as是s维向量空间的一组基，故向量组b1,b2...br中的每一个向量都可由a1,a2.....as线性表出。又向量a1,a2.....as可由向量组b1,b2...br线性表出，所以这两个向量组是等价的，而等价的向量组有相同的秩，于是向量组b1,b2...br的秩也是s。