已知函数f(x)=(ax^2+x-1)e^x,其中e是自然数对数的底数,a∈R

2025-02-25 18:35:58
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回答1:

导数中, e^x总为正,只需考虑x[ax + (2a + 1)], a < 0, 此为开口向下的抛物线,与x轴交点A, B的横坐标分别为0和-2 - 1/a。

(i) a = -1/2

此时抛物线与x轴相切,f'(x) ≤ 0, 恒为减函数(-∞, +∞)


(ii) a < -1/2

-2 - 1/a < 0, B在A左侧

x < -2 - 1/a或x > 0时,f'(x) < 0, 减函数

-2 - 1/a < x < 0时,f'(x) > 0, 增函数

(iii) a > -1/2

2 - 1/a > 0, A在B左侧

x< 0或x > -2 - 1/a时,f'(x) < 0, 减函数

0 < x < -2 - 1/a时,f'(x) > 0, 增函数