一个函数可导，怎么证明它的导数连续

楼上二位的证明方法都有问题，以下才是严格的证明。
证明：用反证法，设
lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。
如此一来，取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。
然后考虑在a点导数的定义：
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a)，
考虑闭区间 [a,x] （或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的），由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c)，
接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)（注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间），到那个时候，就总是有
f'(c) > L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f'(a) >= L' > f'(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L < f'(a)时也会出现矛盾，L'的取法还是一样， epsilon 你取 (f'(a) - L)/2即可。保证可以证的出来，不是一楼说的有问题。
还有问题可以追问。

f 可导，则 f 连续
a点有极限，则点a处f可导，且存在二阶导数（ 二阶导大于零，a为极小值；二阶导小于零，a为极大值 ）
二阶导数存在，则a点的导数可导
所以f的导函数在a点处连续

连续不一定可导，可导一定连续 这是定理

就是这么证明的

函数可导，它的导数未必连续

即证明在可导点的左右极限是否相等，相等便连续；否则不连续

只需证明f的导数在a点的左极限等于右极限就可以了
我相信你会证左右极限相等哈