13问答网 > 设实对称矩阵A=a 111 a?11 ?1a，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角型矩阵，并计算行列式的|A-E|值

设实对称矩阵A=a 111 a?11 ?1a，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角型矩阵，并计算行列式的|A-E|值

2025-02-24 23:42:08

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回答1：

矩阵A的特征多项式

A?E

=

λ?a

?1

?1

λ?a

?1

   1

?1     1   λ?a

=（λ-a-1）²（λ-a+2）
由此得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=a+1，λ₃=a-2
对于特征值λ₁=λ₂=a+1，可得两个线性无关的特征向量，
α1＝(1，1，0)T，α2＝(1，0，1)T
对于特征值λ₃=a-2，可得对应的特征向量
α3＝(?1，1，1)T
可令矩阵 P=（α₁，α₂，α₃）=

1

1

1

0

?1

1

0 1   1

，∧=