sqr(·)表示平方根
(1) Y满足的方程,用Ito公式即可
dY=2(2-X)Xdt+2Xsqr(X)dBt+XdBt=(5X-2X^2)dt+2Xsqr(X)dBt
(2) 先把X的微分方程携程积分形式,积分限是从0到t,下面省略不写
Xt=X0+∫(2-Xs)ds+∫sqr(Xs)dBs ,两边取期望,最后一项是鞅,期望为0,变为
EXt=EX0+E∫(2-Xs)ds
=EX0+∫E(2-Xs)ds
=EX0+2t-∫EXsds
令f(t)=EXt,则
f(t)=EX0+2t-∫f(s)ds,写成常微方程为
f'(t)+f(t)-2=0 且初始条件为f(0)=EX0
解得EXt=f(t)=(EX0-2)e^(-t)+2