求证a+b+c≥3（abc）^1⼀3，a,b,c,为正实数。

引入正数x、y、z，显然有：（x－y）^2≧0，　∴x^2－2xy＋y^2≧0，　∴x^2＋y^2≧2xy。
同理，有：x^2＋z^2≧2xz、　y^2＋z^2≧2yz。

显然还有：（x＋y）（x－y）^2≧0，　∴（x^2－y^2）（x－y）≧0，
∴x（x^2－y^2）－y（x^2－y^2）≧0，　∴x^3－xy^2－x^2y＋y^3≧0，
∴x^3＋y^3≧x^2y＋xy^2。
同理，有：x^3＋z^3≧x^2z＋xz^2、　y^3＋z^3≧y^2z＋yz^2。
于是：
（x^3＋y^3）＋（x^3＋z^3）＋（y^3＋z^3）≧（x^2y＋xy^2）＋（x^2z＋xz^2）＋（y^2z＋yz^2），
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧（x^2y＋yz^2）＋（xy^2＋xz^2）＋（x^2z＋y^2z），
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧y（x^2＋z^2）＋x（y^2＋z^2）＋z（x^2＋y^2），
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧y（2xz）＋x（2yz）＋z（2xy）＝6xyz，
∴x^3＋y^3＋z^3≧3xyz。
令上式中的x^3＝a、y^3＝b、z^3＝c，得：xyz＝（abc）^（1/3），
∴a＋b＋c≧3（abc）^（1/3）。

x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) = (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2 >=0
所以x^3+y^3+z^3-3xyz >= 0