13问答网 > {an}为等差数列，a1=1，an+1=（n+2）Sn⼀n。(n为正整数)。求证（1）{Sn⼀n}为等比数列。（2）Sn+1=4an

{an}为等差数列，a1=1，an+1=（n+2）Sn⼀n。(n为正整数)。求证（1）{Sn⼀n}为等比数列。（2）Sn+1=4an

第一问不用回答了，只回答第二问

2025-02-26 16:59:16

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回答1：

首先指出：若a1=1，an+1=（n+2）Sn/n。(n为正整数)，则{an}不可能为等差数列！可去掉这一条件，改为：数列{an}中，a1=1，an+1=（n+2）Sn/n。(n为正整数)。求证（1）{Sn/n}为等比数列。（2）Sn+1=4an。
证明(2)：由(1)知{Sn/n}是首项为1，公比为2的等比数列。
所以Sn/n=2ⁿ-¹，Sn+1/(n+1)=2ⁿ。
又an+1/(n+2)=Sn/n，所以{an+1/(n+2)}是公比为2的等比数列。
且易知a₂=3，∴a₂/3=2×(a₁/2)，
故{an/(n+1)}是首项为1/2，公比为2的等比数列，从而an/(n+1)=2ⁿ-²，
∴Sn+1/(n+1)=4an/(n+1)，即Sn+1=4an。