对。
根据，连续及左（右）连续定义：
和左（右）导数定义：
可知该命题正确，下面给出证明。
设f(x)在(a,b)连续， ψ>0为任意小的正数，任取一点x0∈(a,b),则f(x)在x0左连续，lim(x->x0-)=f(x0).
由导数定义，y'=lim(x->x0-) (f(x)-f(x0))/(x-x0）存在，
即由连续=〉左连续=〉左可导，又由连续可推出右连续，同理，f(x)在x0右可导，故f（x）在（a，b）每点单侧可导。
连续和可导定义我想你应该都有，我就不赘述了，证明过程不是很完美，你自己再完善一下吧，以后有问题先自己想想，实在想不出来再问别人，就到这了。
错，反例：
f(x)=xsin(1/x) x不等于0
0 x=0
显然，该函数在（-1，1）连续（且一致连续）
但是由导数定义，f'(x)=lim(x->0+(-))(f(x)-f(0))/(x-0)=lim(x->0+(-))xsin(1/x)/x=lim(x->0+(-))sin(1/x)不存在。
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