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高数:求函数u=xy^2+z^3-xyz在点（1，1，2）处沿方向角为α=60°β=45°λ=60°的方向导数

2025-02-23 10:54:31

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回答1：

方向导数是函数的梯度点乘单位方向向量，梯度为gradu=（ux，uy，yz）=（y^2-yz , 2xy-xz , 3z^2-xy）在（1,1,2）处的值为（-1,0,11）单位方向向量为n=（cosα，cosβ，cosλ）=（0.5,二分之根号2,0.5），方向导数为gradu点乘n=5

回答2：

与 l 同向的单位向量e=(cos 60° cos 45° cos 60°)=（1/2,√2/2,1/2）
因为函数可微分，且
grad u=（y^2-yz , 2xy-xz , 3z^2-xy）= （-1,0 ,11）
∂u/∂l=grad u(x,y,z) · e=（-1）*（1/2）+（0*√2/2）+11*（1/2） = 5