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设A为n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明AB为反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA

2024-11-29 07:53:52

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回答1：

证明：若AB为如猛野反对称矩阵，则（AB）T=-AB=（-1）AB,
已知A为n阶对称矩阵，渣喊则A=AT,B是n阶反对称矩阵,则BT=-B，
而根据转置矩阵的重要性质（AB）T=BTAT=-BA=（-1）BA，（T均为上标），
（-1）AB=（-1）BA,
∴AB=BA，
反过来，若AB=BA，则根据转置矩阵的重要性质，（AB）T=BTAT，（T为上标）
已知李知A为n阶对称矩阵，则A=AT,B是n阶反对称矩阵,则BT=-B，代入上式，
（AB）T=-BA=-AB，
∴AB是反对称矩阵，

回答2：

证明: 因为A为n阶对称矩裤颤阵，B是n阶反对称带纯乎矩阵
所以 A^T = A, B^T = -B.
所以 AB 为反对称矩阵
<=> (AB)^T = -AB
<=> B^TA^T = -AB
<=> -BA = -AB
<=> AB=BA, 即蠢悉A,B可交换.