数列（an），A1=0.5, 2nAn+1=(n+1)An ,bn=ln(1+An）+1⼀2An*An,证明对一切n属于正整数，2Bn-An*An小于2An

这个题目还是用数学归纳法做吧，验证部分省略，
对n=k时做归纳假设：2Bk-Ak*Ak＜2Ak
n=k+1时，证明2B（k+1）-A（k+1）*A（k+1）＜2A（k+1） ，
只需证明2（B（k+1）-Bk）＜0.5【（An+1 +2）^2-（An+2）^2】
即：ln（(2n+2nAn)/(2n+(n+1)An)）>（An+An+1 +4 ）（An -An+1）
亦即：ln（1+ ((n-1)An)/(2n+(n+1)An) ）>(n-1)/2n *An *( ( (3n+1) /2n) +4 )
这里需要用不等式：ln（1+x）>1-x；（0注意到 01 - ((n-1)An)/(2n+(n+1)An)>1-0.5An>（(n-1)/2n ）*0.5*(（(3n+1) /2n）+4)>(n-1)/2n *An *( ( (3n+1) /2n) +4 )………………（到了这一步，不等式很容易证明了，只需要不断的缩放即可）
由数学归纳法知命题得证；

另外这个题目直接运用不等式：ln（1+x）>1-x 对Bn进行放缩或许不用数学归纳法也能证明，请楼主自己去尝试下。

2nA(n+1)=(n+1)An
A(n+1)/(n+1)=(1/2)An/n
An/n=(A1/1)(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
An=n(1/2)^n

bn=ln(1+An)+(1/2)An*An
2bn-an^2-2an=2ln(1+an)+an^2-an^2-2an
=2ln(1+an)-2an
只要证明ln(1+an)-an＜0

a(n+1)-an=(n+1)(1/2)^(n+1)-n(1/2)^n
=[(n+1)-2n](1/2)^(n+1)
=(1-n)(1/2)^(n+1)
当n=1时,a(n+1)-an=0
当n≥2时,a(n+1)-an＜0，即an单调递减，
0＜an≤a1=1/2

不妨设y=ln(1+x)-x
y'=1/(1+x)-1=x/(1+x)
当x＞0时，y'＞0，y=ln(1+x)-x单调递增，
所以ln(1+an)-an≤ln(1+a1)-a1=ln(3/2)-1/2≈-0.09＜0
所以ln(1+an)-an＜0
题得证。