13问答网 > 在下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转一周而成的旋转体的体积：（1）y=2x-x2,y=0,绕x轴；

在下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转一周而成的旋转体的体积：（1）y=2x-x2,y=0,绕x轴；

2025-02-26 00:49:32

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回答1：

1、y = 2x - x²，y = 0，绕x轴
2x - x² = 0 解得 x = 0、2
V = πƒ(x)²
= π∫(0→2) (2x - x²)² dx
= π∫(0→2) (x⁴ - 4x³ + 4x²) dx
= π[(1/5)x⁵ - x⁴ + (4/3)x³] |(0→2)
= π[(1/5)(2)⁵ - (2)⁴ + (4/3)(2)³]
= 16π/15

2、y = x²，x = y²，绕y轴
交点为(0，0)，(1，1)
V = 2πxƒ(x)
= 2π∫(0→1) x(√x - x²) dx
= 2π∫(0→1) [x^(3/2) - x³] dx
= 2π[(2/5)x^(5/2) - (1/4)x⁴] |(0→1)
= 2π(2/5 - 1/4)
= 3π/10