13问答网 > （Ⅰ）设函数 f(x)=ln(1+x)- 2x x+2 ，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张

（Ⅰ）设函数 f(x)=ln(1+x)- 2x x+2 ，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张

2025-05-01 09:57:23

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回答1：

（Ⅰ）证明：∵f′（x）=

1+x

2(x+2)-2x

(x+2) 2

x 2

(x+2) 2 (x+1)

，
∴当x＞-1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=

20100

100 20

，要证P＜ (

) 19 ＜

e 2

．
先证：P=

20100

100 20

＜ (

) 19 ，即证

100×99×…×81

100 20

＜

100

(

100

) 20
即证99×98×…×81＜（90）¹⁹
而99×81=（90+9）×（90-9）=90² -9² ＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90² -8² ＜90² …
91×89=（90+1）×（90-1）=90² -1² ＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜ (

) 19
再证： (

) 19 ＜e^-2 ，即证 (

) 19 ＞e² ，即证19ln

＞2，即证ln

＞

由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-

x+2

，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=

，则ln（1+

）-

=ln（1+

）-

＞0，即ln

＞

综上有：P＜ (

) 19 ＜

e 2