13问答网 > 已知当x趋近0时，sin(x)⼀x = 1，求证sin(1⼀r^2)⼀1-sin(1⼀r)为收敛

已知当x趋近0时，sin(x)⼀x = 1，求证sin(1⼀r^2)⼀1-sin(1⼀r)为收敛

已知当x趋近0时，sin(x)/x = 1求证明第二个式子为r趋近无穷时为收敛

2025-04-15 10:57:43

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回答1：

原极限=lim(x趋于0) (x^2 -sin^2x) / (x^2*sin^2x)
=lim(x趋于0) (x -sinx)(x+sinx) / (x^2*sin^2x)
x趋于0的时候，sinx等价于x
所以得到x+sinx等价于2x，
x^2*sin^2x等价于x^4
所以原极限=lim(x趋于0) 2x *(x -sinx) / x^4
=lim(x趋于0) 2(x -sinx) / x^3 所以洛必达法则求导
=lim(x趋于0) 2(1 -cosx) / 3x^2
而1-cosx等价于0.5x^2，
代入得到原极限= 2* 0.5x^2 /3x^2= 1/3