已知在三角形ABC中，BD、CE为角平分线，点D、E在AC、AB上，且BD=CE。求证：AB=AC

1.可以反正法：假设AB=AC时候点D、E在AC、AB上
由于AB=AC那么角B=角C
在由于BD、CE为角平分线
所以得出BD=CE
即AB=AC为真命题即AB=AC成立
2.证明：由于BD、CE为角平分线
知：角ABD=角CBD
角BCE=角ACE
又由： BD=CE
得三角形ACE与三角形ADB全等
的AB=AC

过F做角BDG=角BCE,令DG=BC,过G做GH垂直AC交AC于H,连GB并延长，过C做CI垂直于GB交GB延长线于I，连GC,设BD,CE交于O.
∵ ∠BDG=∠BCE,GD=BC,BD=CE,∴⊿BDG≌⊿ECB,∴∠BEC=∠GBD
∵∠ABD=∠DBC∴∠DBC+∠GBD=∠ABD+∠BEC
∵∠DBC+∠GBD=∠GBC,∠ABD+∠BEC=∠BOC ∴∠GBC=∠BOC
∵∠BDG=∠BCE,∠BCE=∠ECA ∴∠BDG=∠ECA ∴∠BDG+∠BDC=∠ECA+∠BDC
∵∠BDG+∠BDC=∠GDC,∠ECA+∠BDC=∠BOC ∴∠GDC=∠BOC ∴∠GBC=∠GDC ∴∠CBI=∠GDH
∵∠GHC=∠I=90,GD=BC ∴ ⊿GDH≌⊿CBI ∴∠HGD=∠BCI,GH=CI
∵∠GHC=∠I=90,GC=GC ∴⊿GHC≌⊿CIG ∴∠HGC=∠ICG ∴∠HGC-∠HGD=∠GCI-∠BCI
∵∠HGC-∠HGD=∠DGC,∠GCI-∠BCI=∠GCB ∴∠DGC=∠GCB ∴GD‖BC ∴∠BDG=∠DBC
∵∠BDG=∠BCE ∴∠BCE=∠DBC ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴⊿ABC为等腰三角形