求微分方程y平方dx-(y平方+2xy-x)dy＝0的通解

2025-02-23 13:05:10

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回答1：

y^2 dx - (y^2 + 2xy - x) dy = 0，将 y 看成自变量. 方程可以化为：
dx/dy + (1 - 2y)/y^2 * x = 1.
然后利用一阶线性方程 dx/dy + p(y) * x = q(y) 的公式：
x = e^(- ∫ p(y) dy) * (C + ∫ q(y) * e^( ∫ p(y) dy) dy)
这个题目里面，p(y) = (1 - 2y) / y^2 ，q(y) = 1. 代入上式计算得到：
x = e^(- ∫ (1 - 2y) / y^2 dy) * (C + ∫ e^( ∫ (1 - 2y) / y^2 dy) dy)
= y^2 * e^(1/y) * (C + ∫ e^(-1/y) / y^2 dy)
= y^2 * e^(1/y) * (C + e^(-1/y))
= C * y^2 * e^(1/y) + y^2.
其中，C为任意常数.

回答2：

dx/dy=1+2x/y-x/y^2 dx/dy-(2/y-1/y^2)x=1 这是一阶线性方程，可用公式