已知双曲线 x 2 3 - y 2 =1 的左右焦点分别为F 1 F 2 ，过F 1 且倾斜角为60°的直线l

2025-05-05 22:00:50

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回答1：

∵

x 2

-y² =1的右焦点为F₂ （2，0），左焦点为F₁ （-2，0），
∴过F₁ 且倾斜角为60°的直线l方程为：y=

（x+2），
∴由

x 2

-y 2 =1

(x+2)

消去y得：8x² +36x+39=0，
设M（x₁ ，y₁ ），N（x₂ ，y₂ ），
则x₁ ，x₂ 是方程8x² +36x+39=0的两根．
∴x₁ +x₂ =-

，x₁ x₂ =

，
∴|MN|=

1 +(

) 2

(x 1 +x 2 ) 2 - 4x 1 x 2

-4×

．
∵|MF₂ |-|MF₁ |=2

，
|NF₂ |-|NF₁ |=2

，
∴|MF₂ |+|NF₂ |=4

+|MN|=5

．
∴△MNF₂ 的周长为|MF₂ |+|NF₂ |+|MN|=6

；
设F₂ （2，0）到直线MN

x-y+2

=0的距离为d，
则d=

×2+2

(

) 2 +(-1) 2

，
∴ S △M NF 2 =

|MN|?d=