高二数学题（求详解）

1、作椭圆左准线l，交作垂线AA1⊥l，BB1⊥l,垂足分别为A1、B1，作BH⊥AA1，H为垂足，

根据椭圆第二定义，

|AF1|/|AA1|=|BF1|/|BB1|=e,

|AF1|/|BF1|=|AA1|/|BB1|=2,

∴|AA1|=2|BB1|，

∵|A1H|=|BB1|，

∴|AA1|=2|A1H|，

∴H是AA1的中点，

|AH|=|BB1|，

〈HAB=〈AF1O=60°，

∴|AH|/|AB|=cos60°=1/2，

|BF1|=|AB|/3，

|BB1|/（3BF1|=1/2，

1/（3|BF1||/BB1|）=1/2，

1/3e=1/2,

∴e=2/3.

2、作OM⊥PQ，垂足M，

根据过焦点弦长公式，

|PQ|=(2b^2/a)/[1-(ecosθ）^2],(用第二定义很容易证明），

其中θ为焦点弦与X轴成角，

椭圆方程为：x^2/2+y^2=1,

a=√2，b=1,c=1,

e=c/a=√2/2，

∴|PQ|=（2*1/√2）/[1-（cosθ)^2/2]

=2√2/[2-（cosθ)^2],

|OM|=|OF1|*sinθ=sinθ,

∴S△PQO=|OM|*|PQ|/2=√2sinθ/[1+1-（cosθ)^2]

=√2sinθ/[1+(sinθ)^2],

令sinθ=t,-1≤t≤1,

S=√2t/(1+t^2),

St^2-√2t+S=0,

当判别式△=2-4S^2≥0，

S^2≤1/2,

-√2/2≤S≤√2/2，

S(max)=√2/2，

此时,

√2/2=√2t/(1+t^2),

(t-1)^2=0,

t=1,

sinθ=π/2，

即PQ垂直X轴时，三角形POQ面积最大，此时|PQ|却最小。 

1.FA=2FB，F(-C,0)即向量FA=2向量BF，设A(X1-C，Y1)，则B(-x1/2-C,-y1/2),A,B在椭圆上
带入x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，在根据a^2=b^2+c^2
得离心率e=c/a=2/3

2.S△OPQ=S△OPF+S△OQF=1/2*OF*(|y1|+|y2|)=1/2*(|y1|+|y2|)
求S△OPQ的最大值，即求|y1|+|y2|的最大值
根据PQF在一条直线上，得当|y1|=|y2|时|y1|+|y2|最大，此时x1=x2=-1
带入有S△OPQ最大=根号2/2

2.直线方程Y=a(X+1) ( -根号2<=X>= 根号2）（-1<=y<=1) a#0
x²+2y²=2 根据两方程求解 求得 P Q 两坐标点 下一步自己做

解：作准线与x轴交点为M，过B准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E．
设|AB|=3t，因为|FA|=2FB|，则|BF|=t，|AF|=2t，
|因为AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|= 
3/2|AB|=3/2 t，
|AH|=2/e t-1/e t=1/e t=3/2 t，
所以e=2/3，
故答案为2/3．

设a半长轴,c为焦距,e为离心率,xA表示A点横坐标，xB表示B点横坐标，
由焦半径公式及三角函数得:
｜AF｜=a+exA=(XA+c)/cos60度 (1)
｜BF｜=a+exB=（-XB-c)/cos60度 (2)
由(1) XA=(2c-a)/(e-2) 由(2) xB=-(2c+a)/(e+2)
xA+xB=(8c-2ae)/(e^2-4) (3)
因为｜FA｜＝2｜FB｜ 所以a+exA=2( a+exB) 2XA+2c=2 (-2XB-2c )　可得
xA+xB=(a-9ce)/(4e) (4)
由(3) (4) (8c-2ae)/(e^2-4)=(a-9ce)/(4e) 两边除以a
(8e-2e)/(e^2-4)=(1-9e^2)/(4e)
整理得 9e^4-13e^2+4=0
分解得(e^2-4/9)(e^2-1)=0
e^2-4/9=0,解得e=2/3 e=-2/3(舍去) e=1或e=-1(因0所以e=2/3

Y=a(X+1) ( -根号2<=X>= 根号2）（-1<=y<=1) a#0
x²+2y²=2
AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=
3/2|AB|=3/2 t，
|AH|=2/e t-1/e t=1/e t=3/2 t，
所以e=2/3，
故答案为2/3．