如何用确界原理证明连续函数的有界性定理（我有答案，没懂）

2025-03-01 09:37:53

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回答1：

注意S的定义：若c位于S，则f(x)在[a,c]上有界。
按上面的证明，S有上确界d。很显然，d<=b。
分两种情况：
1、当d使得f(x)在此邻域上有界。按上确界的定义，在【d-e，d)上存在一点
x1位于S中，即f(x)在【a，x1】上有界，再由刚才的证明，
f(x)在【x1，d+e】上有界，因此f(x)在【a，d+e】上有界，
于是d+e位于S，d+e<=d=supS。这就是矛盾。
2、当d=b时，比上面证明简单一点。还是由于
f(x)在x=b连续，存在【b-e，b】使得f(x)在此邻域上有界。
再由b是上确界，存在x1位于【b-e，b)，使得f(x)在【a，x1】上有界，
因此f(x)在【a，b】上有界。
证毕。