.设A为n阶方阵，且满足AA^T =E和|A|=-1，证明行列式|E+A|=0.

证明：

|A-E|

= |A-AA^T|

= |A(E-A^T)|

= |A||E-A^T|

= |A||E-A| - (E-A^T)^T = E-A

= |A| (-1)^(2n+1) |A-E|

= -|A||A-E|

所以｜A-E|(1+|A|)=0

因为｜A|>0

所以，可得1+|A|≠0

所以，可得｜A-E| = 0。

性质：

1、若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

2、初等变换不改变矩阵的秩。

3、如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

4、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

5、矩阵的秩加上矩肆答册阵的零化度等于矩阵的纵列数。

A| |E+A'|= |A| |(E+A)'|= |A| |E+A|这是固定的算法。

|A-E|= |A-AA^T|= |A(E-A^T)|= |A||E-A^T|= |A||E-A| --- (E-A^T)^T = E-A= |A| (-1)^(2n+1) |A-E|= -|A||A-E|。

所以 |A-E|(1+|A|)=0，因为 |A|>0，所以 1+|A|≠0，所蔽粗以 |A-E| = 0。

n阶行列式介绍：

n阶行列式等首并梁于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号者运，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。

按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。

第一个等式是因为(E+A')=E'+A'=(E+A)'

第二个等式是因为一个矩阵的行列式与它的转置的行列式相等。

|A显然是正交矩阵，搭告因此特征值只能有1或-1

又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的亩模话，所有特征值都是1，知耐明其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）

从而A+E必有特征值-1+1=0

则|A+E|=0

扩展资料：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

参考资料来源：百度百科-行列式

你是问的下面这三个等式为什么成立，还是你的标题的题目呢？
如果是下面这三个等式肆吵的话
第一个等式是因为(E+A')=E'+A'=(E+A)'
第二个等式是因为一个矩阵的行列式与它的转置的行裂粗侍凳敏列式相等。