limf✀(X)=A（X趋近X0）是f✀(x0)=A什么条件？充分？必要还是充要？

按和世陵你的条件是既不充分也不必要。不充分：如f(x)=x(x≠x0);x+1(x=x0)，则lim[x->x0]f'唤戚(x)=1但f'(x0)不存在；不必返桥要，如f(x)=x^2sin(1/x)，f'(0)=0，lim(x->0)f'(x)=lim(x->0)(2xsin(1/x)-cos(1/x))不存在。

这个命题严格来说要这样表述：若f在[x0-a0,x0+a0]上连续，在(x0-a0,x0)U(x0,x0+a0)上可导（a0可以是任意小的正数），且lim(x→x0)f'(x)=A；则f在x0可导，且f'(x0)=A。
证明：先证右导数存在且为A。只需证任意ε>0，存在a>0，任意x∈(x0,x0+a)，|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-A| < ε。
任取ε>0，由于lim(x→x0)f'(x)=A，则对该ε，存在a1>0，任意x∈(x0,x0+a1)，|f'(x)-A| < ε。
取a=min{a0,a1}，则对任意x∈(x0,x0+a)，f(x)在[x0,x0+x]连续，在(x0,x0+x)可导，满足拉格朗日中值定理条件。由中值定理，f(x)-f(x0)/(x-x0)=f'(ξ)。由于ξ∈(x0,x0+a1)，|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-A| = |f'(ξ)-A| < ε。证毕。
同理可证左导数存在且为A。故f'(x0)=A。

这个命题的逆命题不成立，反例还是f(x)=x^2sin(1/x)那个

什么都不是
f(x)= 2x，x>0
3，x=0
3x，早衡x>0
当陆和做x趋棚册于0，f(x)趋于0，而f(0)=3