13问答网 > 若向量组a1，a2,…am(m>=2)线性无关，证明：（1）向量组a1，a1+a2，…，a1+a2+…+am线性无关。

若向量组a1，a2,…am(m>=2)线性无关，证明：（1）向量组a1，a1+a2，…，a1+a2+…+am线性无关。

2025-02-24 18:32:21

推荐回答（1个）

回答1：

可以用定义证明
这里另给你个证明方法, 其中用到两个结论

(1)
(a1，a1+a2，…，a1+a2+…+am)=(a1，a2,…am)K
其中K=
1 1 ... 1 1
0 1 ... 1 1
... ...
0 0 ... 0 1
因为|K|=1≠0, 所以K可逆.
所以 r(a1，a1+a2，…，a1+a2+…+am)=r(a1，a2,…am) = m
所以 a1，a1+a2，…，a1+a2+…+am线性无关.

(2)
(b1,b2,...,bm-1) = (a1，a2,…am)K
其中K=
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ...
0 0 ... 1
k1 k2 ....km-1

因为 a1，a2,…am 线性无关
所以 r(b1,b2,...,bm-1) = r(K) = m-1.
所以 b1,b2,...,bm-1 线性无关.