同余方程组中模与模之间不互质时,解共有多少组?

存在无解的情况。如
x=3 mod 12
x=2 mod 18

对于少量的几个模，可以取它们的公约数取代原有的模，看它们是否有矛盾。上面的例子是有矛盾的，即x=3 mod 6与x=2 mod 6矛盾，从而无解。

对于大量的模，可以先确立一组两两互质的分解基数集，比如质数集，将这些模用分解基数表示成为多个因数项，将其中相关于同一个分解基数的项进行归并。如果有矛盾，则无解。
否则有解。
例：同余式组
x=2 mod 16
x=3 mod 5
x=6 mod 12
取4, 3, 5作为分解基。变成
x=2 mod 4^2
x=3 mod 5
x=6 mod 4
x=6 mod 3
其中相关于同一个分解基数的情况，仅有x=2 mod 16与x=6 mod 4是相关于分解基数"4"的,它们没有矛盾。取两相容解集的交集，即其中解集较小的那个：x=2 mod 16.
再与x=3 mod 5及x=6==0 mod 3联立求解。

另例：
x=2 mod 18
x=8 mod 12
以3,2为分解基。
相关于分解基数3的转化式有x=2 mod 3^2, x=2 mod 3, 取前者。
相关于分解基数2的转化式有x=0 mod 2, x=0 mod 4, 取后者。

如果是形如
ax=b mod m形状的同余式联立的，
则可能出现无解、一解、多解的情况。一个基本的例子如下：
12x=18 mod 27 注：相当于12x=9+18k
自然就等价于同余式
4x=3 mod 9
解得x=3 mod 9, 转化为模27的同余式，为
x=3,12,21 mod 27