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微积分题当n充分大时,证明(1+n^2)^(1⼀n)[(1+n^-2)^1⼀2-1)<1⼀n^2

2025-02-23 19:51:20

推荐回答（3个）

回答1：

就是要证明(1+n^2)^(1/n)*(1/n^2)/[(1+n^(-2))^(1/2)+1]<1/n^2；
这个只要证明：(1+n^2)^(1/n)/[(1+n^(-2))^(1/2)+1]<1或者：(1+n^2)^(1/n)<(1+n^(-2))^(1/2)+1；这个当n充分大时是成立的，因为不等式左边的极限是1，右边的极限是2。

回答2：

(1+n^-2）=n^2+1/ n^2

(1+n^-2)^1/2=根号下n^2+1/ n^2=根号下（n^2+1）再除以n =根号下n+1/n

(1+n^-2)^1/2-1=根号下n+1/n再－1
(1/n)[(1+n^-2)^1/2-1)=n^2+1-1/n=n^2-1/n+1大于1

1+n^2也大于1，而1/n^2小于1

故(1+n^2)^(1/n)[(1+n^-2)^1/2-1)<1/n^2成立

回答3：

对不起