13问答网 > 已知函数f（x）＝（（1＋x）＊e＾（－ax））／（1－x）。设a＞0，讨论函数单调性

已知函数f（x）＝（（1＋x）＊e＾（－ax））／（1－x）。设a＞0，讨论函数单调性

若对任一x属于（0，1）恒有f（x）＞1，求a取值范围

2025-04-30 21:31:08

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回答1：

（1）f(X)的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
f(x)’=（ax^2+2-a)/(1-x)^2*e^-ax
①当a=2时， f(x)’=2x^2/(1-x)^2*e^-2x>0,为增函数
②当00为增函数
③当a>2时，0<(a-2)/a<1,令f(x)’=0，得x1=-√(a-2)/a; x2=√(a-2)/a,经讨论可知
f(x)在(-∞,-√(a-2)/a),(√(a-2)/a,1),(1,+∞）为增函数
在（-√(a-2)/a，√(a-2)/a）为减函数
（2）①当0f(0)=1
②当a>2时，取x0=1/2√(a-2)/a,则由（1）知f(x) ③当a≤0时，对任意x∈(0,1)时，恒有（1+x)/(1-x)>1,且e^-ax≥1
得f(x)=(1+x)/(1-x)*e-ax≥(1+x)/(1-x)>1
∴当且仅当a∈(-∞,2)时，对任意x∈(0,1)时，恒有f(x)>1

回答2：

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