（Ⅰ）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
则△x=x2-x1＞0，△y＝f(x2)?f(x1)＝x2+
+2?x1?a x2
?2=(x2?x1)(1?a x1
)，…（2分）a
x1x2
当a＝
时，f(x2)?f(x1)＝(x2?x1)(1?1 2
)，1 2x1x2
∵1≤x1＜x2，∴x2?x1＞0，1?
＞0，恒成立1 2x1x2
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，f（x）取得最小值为f(1)＝1+
+2＝1 2
，7 2
∴f（x）的值域为[
，+∞)．7 2
（Ⅱ）f(x)＝x+
+2可变为f(x)＝a x
，
x2+2x+a x
∵对任意x∈[1，+∞)，f(x)＝
＞0，恒成立
x2+2x+a x
∴只需对任意x∈[1，+∞），x2+2x+a＞0恒成立．
设g（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的对称轴为x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．
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