X7和7X形式的两位数里无平方数。其他的数:0有01;1有16;2有25;3有36;4有49;5有25;6有36;8有81;9有09。可见小红的第一步也只能写7。躲过小明的第一劫后,小红的日子就好过很多了。
下面证明:以后每次小红要做的,只是在已有的数的末尾添加2或者3,就可以妥妥地阻止小明写出平方数。
设已有的数为X,过了第一关后,再轮到小红写的时候,X已经至少是个两位数了(这个假设很关键)。
考虑100X+20到100X+39这20个连续整数里平方数的个数。下面我断言:这20个连续整数里,顶多能有一个平方数。这是因为假设里面有一个平方数100X+m=n²,则因为X至少是两位数,所以100X>100*10=1000,所以n>30,这样的话,n-(n-1)²=2n-1>50,(n+1)²-n²=2n+1>50,所以最近的平方数至少也要相差50。也就是说这20个连续整数里,确实不可能再有第二个平方数了。
所以,下面两个事实至少成立一个:(1)100X+20到100X+29里没有平方数(2)100X+30到100X+39里没有平方数。
假设(1)成立,小红就在X的末尾添上2;假设(2)成立,小红就在末尾添上3。
下面我们分析下小明下一步的选择。如果小明下一步选择在末尾添数的话,已经自然是无法得手了。如果小明选择在首位添数的话,因为平方数的末位不可能是2或3,也自然是无法得手的。这样的话,小红的就能胜券在握了,证明完毕。
ps:上面的证明里有一个小小的遗漏,如果大家都一股劲地在首位添0,则X会一直保持在一位数7。不过这样的话,对小红来说也是没有问题的。这下证明就完善了。
没看懂呀!
你几年级 啊 我初三的看不懂啊