在三角形A B C中已知（cosA-2cosC)⼀cosB=(2c-a)⼀b （1）求sinC⼀sinA的值 （2）若cosB=1⼀4 b=2...

解：
1. （cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b
根据 正弦定理得
(cosA-2cosC)/cosB=(2sinC-sinA)/sinB
sinBcosA-2sinBcosC=2cosBsinC-cosBsinA
sinBcosA+cosBsinA=2cosBsinC+2sinBcosC
sin(A+B)=2sin(B+C)
sinC=2sinA
sinC/sinA =2
2.
因为cosB=1/4，得到sinB=√15/4;
利用sinC=sin(A+B）=2sinA,得到sinA=√15cosA,
进一步得到sinA=√15/8，所以：sinC=√15/4,
所以三角形ABC为等腰三角形，则有B=C,故：
b=c=2面积s=(1/2)*b*c*sinA=√15/4.

(1) b/sinB=a/sinA/c/sinC
a=bsinA/sinB
c=bsinC/sinB
(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b=(2sinC-sinA) /sin(A+C)
则 (cosA-2cosC)*sin(A+C)=-(2sinC-sinA) cos(A+C)
(cosA-2cosC)*(sinAcosC+cosAsinC)=-(2sinC-sinA) (cosAcosC-sinAsinC)
得 cos²AsinC-2sinAcos²C=2sin²CsinA-sin²AsinC
cos²AsinC+sin²AsinC=2sinAcos²C+2sin²CsinA
sinC=2sinA
sinC/sinA=2
(2) cosB=1/4
b²=a²+c²-2accosB
由sinC/sinA=2 得c=2a
4=a²+4a²-4a²cosB
得a=1 c=2
S△ABC=acsinB/2=1*2/2*√15/4=√15/4

1. 由正弦定理

   (cosA-2cosC)/cosB=(2sinC-sinA)/sinB

   sinBcosA-2sinBcosC=2cosBsinC-cosBsinA

   sinBcosA+cosBsinA=2cosBsinC+2sinBcosC

   sin(A+B)=2sin(B+C)

   sinC=2sinA

   sinC/sinA =2

2. sinC/sinA =2，即为  c/a=2

   由余弦定理

   b²=a²+c²-2ac*cosB=a²+c²-ac/2

   b²=(a/c+c/a-1/2)ac

   4=2ac

   ac=2

   cosB=1/4，得sinB=√15/4

   S=ac*sinB/2=√15/4