13问答网 > 已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d 若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为12x+y-13=0 且他们只有一个公共点求函y

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d 若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为12x+y-13=0 且他们只有一个公共点求函y

求函数y=f(x)的所有极值的和

2025-03-07 00:43:17

推荐回答（1个）

回答1：

f'(x)=3x²+2bx+c
∵在（1，f(1)）处的切线方程为12x+y-13=0
∴12+f(1)-13=0
∴f(1)=1 且f'(1)=k=-12
∴1+b+c+d=1
3+2b+c=-12
∴c=-15-2b,d=15+b
∴f(x)=x³+bx²-(15+2b)x+15+b
y=-12x+13与y=x³+bx²-(15+2b)x+15+b联立，消去y得
x³+bx²-(15+2b)x+15+b=-12x+13
x³+bx²-(3+2b)x+2+b=0
（x-1)[x²+(b+1)x-2-b]=0
x-1=0或x²+(b+1)x-2-b=0
∵曲线与12x+y-13=0只有一个公共点
∴x²+(b+1)x-2-b=0无解或有两个相等的解x=1
∵Δ=(b+1)²+4(2+b)=(b+3)²≥0
∴只有Δ=0，b=-3，有两个相等的解x=1
∴c=-15+6=-9,d=15-3=12
∴f(x)=x³-3x²-9x+12

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d 若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为12x+y-13=0 且他们只有一个公共点 求函y

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d 若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为12x+y-13=0 且他们只有一个公共点求函y