塞瓦定理的证明方法

1、利用梅涅劳斯定理(梅氏定理)证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

∵△ABD被直线COF所截，

∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②/①约分得：

(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

2、利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得

扩展资料：

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。

塞瓦定理记忆法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为1。

参考资料来源：百度百科-塞瓦定理

（1）本定理可利用梅涅劳斯定理（梅氏定理）证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴（CB／BD）＊（DO／OA）＊（AE／EC）＝1①

∵△ABD被直线COF所截，

∴（BC／CD）＊（DO／OA）＊（AF／FB）＝1②

②／①约分得：

（DB／CD）×（CE／EA）×（AF／FB）＝1

（2）也可以利用面积关系证明

∵BD／DC＝S△ABD／S△ACD＝S△BOD／S△COD＝（S△ABD－S△BOD）／（S△ACD－S△COD）＝S△AOB／S△AOC③

同理CE／EA＝S△BOC／S△AOB④，AF／FB＝S△AOC／S△BOC⑤

③×④×⑤得

扩展资料：

塞瓦定理记忆法：

三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为1。

参考资料：百度百科-塞瓦定理

三角形ABC内一点O，AO，BO，CO交对边于D，E，F。
证（AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）=1。

1）最简单的证法：用面积证。由于S（ABO）/S（ACO）=BD/DC (这个用等底等高就很容易证)，同理S（ACO）/S（BCO）=AF/FB S（BCO）/S（ABO）=CE/EA，三个式子乘一下就出来了。

2）用梅涅劳斯定理：显然(AF/FB)*(BC/CD)*(DO/OA)=1, (AE/EC)*(BC/BD)*(DO/OA)=1,两个式子除一下就行了。

3）用分角定理：就是楼上那种证法。

O为△ABC内任一点，AO延交BC于D，
BO延交AC于E，CO延交AB于F，则（AF/BF）·(BD/CD)·(CE/AE)=1
证明：在△AOB中，OF分∠AOB，由《分角定理》→
AF/BF=（sin∠AOF/sin∠BOF）·(AO/BO)，同理，在△BOC，△COA中也有。
∴（AF/BF）·(BD/CD)·(CE/AE)= （sin∠AOF/sin∠BOF）·(AO/BO) ·
（sin∠BOD/sin∠COD）·(BO/CO)·
（sin∠COE/sin∠AOE）·(CO/AO)=1