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求1.z=e^[-sin (y⼀x)] 2.z=arctan[(x+y)⼀(x-y)]的偏导数

2025-04-25 03:38:47

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回答1：

求1.z=e^[-sin (y/x)] ；2.z=arctan[(x+y)/(x-y)]的偏导数
解：1。令z=e^u，u=-sinv，v=y/x；则：
∂z/∂x=(dz/du)(du/dv)(∂v/∂x)=(e^u)(-cosv)(-y/x²)=e^[-sin(y/x)][cos(y/x)](y/x²)；
∂z/∂y=(dz/du)(du/dv)(∂v/∂y)=(e^u)(-cosv)(1/x)=-e^[-sin(y/x)][cos(y/x)](1/x)；
解：2。令z=arctanu，u=(x+y)/(x-y)；则：
∂z/∂x=(dz/du)(∂u/∂x)=[1/(1+u²)][(x-y)-(x+y)]/(x-y)²= -{1/[1+arctan²(x+y)/(x-y)]}[(2y/(x-y)²]；
∂z/∂y=(dz/du)(∂u/∂y)=[1/(1+u²)][(x-y)+(x+y)]/(x-y)²={1/[1+arctan²(x+y)/(x-y)]}[(2x/(x-y)²]；