f(x)的导数在x0处的左右极限都存在，但并没有说左右极限相等且等于f'(x0)，因此无法判断在x0处的连续性。（错误）
f(x)在x0处的左右导数都存在，说明f(x)在x0处可导，因此在x0处必连续。（正确）
f(x)在x0处可导又连续，结论显然成立。（正确）
根据导数定义，f'(x0)=lim(x趋于x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A，因此无法说明f(x)的导数在x0处的极限等于A。（错误）
(1)(2)错误，(3)(4)正确， 选 B
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