13问答网 > 证明 1⼀2×3⼀4×......×(2n-1)⼀2n＜根号[1⼀3×3⼀5×......×(2n-1)⼀(2n+1)]

证明 1⼀2×3⼀4×......×(2n-1)⼀2n＜根号[1⼀3×3⼀5×......×(2n-1)⼀(2n+1)]

2025-02-26 03:35:49

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回答1：

[1/2*3/4*5/6*…(2n-1)/2n²
=[1/2*3/4*5/6*…(2n-1)/2n]×[1/2*3/4*5/6*…(2n-1)/2n]
而1/2<2/3 ＜ 3/4<4/5，…以此类推(2n-1)/2n<2n/(2n+1)
原式<[1/2*3/4*5/6*…(2n-1)/2n]×[2/3*4/5*6/7*…2n/(2n+1)]
=1/(2n+1)中间全部约分了。
因为不等式两边均为正数，同时开方。
1/2*3/4*5/6*…2n-1/2n<1/根号(2n+1)；
又根号[1/3×3/5×......×(2n-1)/(2n+1)]＝根号1／﹙2n＋1﹚，所以，1/2*3/4*5/6*…2n-1/2n<根号[1/3×3/5×......×(2n-1)/(2n+1)]。