求解这道高数题

如图两种解法

答案是29/13。还有什么疑问吗？

d/dx lnsinx dx = 1/sinx * (sinx)' = cotx

若令t = cosx，x = arccost，dx = - 1/√(1 - t²) dt
∫ √(1 + cos²x) dx = ∫ √(1 + t²) * [- 1/√(1 - t²)] dt
= - ∫ √[(1 + t²)/(1 - t²)] dt，由于没有一个t的乘积，所以这个积分的解是超越函数的
wuzs10的过程是√(1 + cos²x) = 1/tanx？请问这步是如何化简的？

这个分明是椭圆积分的类型。
∫ √(1 + cos²x) dx
= ∫(0，x) √(1 + cos²θ) dθ
= ∫(0，x) √[1 + (1 - sin²θ)] dθ
= ∫(0，x) √(2 - sin²θ) dθ
= ∫(0，x) √{2[1 - (1/2)sin²θ]} dθ
= √2∫(0，x) √[1 - (1/√2)²sin²θ] dθ ===> 椭圆积分∫(0，x) √(1 - k²sin²θ) dθ形式，0 < k < 1
这里的k = 1/√2
= √2E(1/√2，x)
这个是第二类不完全椭圆积分。