已知函数f（x）= 1 x ．（1）若 f(a)?(e-1)= ∫ e1 f(x)dx ，求a的值；（2）t＞1，是

2025-04-13 10:26:58

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回答1：

（1）∵ f(a)?(e-1)=

∫

f(x)dx ，∴

?(e-1)=

∫

dx=lnx

=，1∴a=e-1 …（3分）
（2）

∫

f(x)dx=

∫

dx=lnx

=lnt
设

?(t-1)=lnt ，∴ a=

t-1

lnt

…（5分）
下面证明a∈[1，t]： a-1=

t-1

lnt

-1=

t-1-lnt

lnt

设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则 g ′ (t)=1-

t-1

＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a-t=

t-1

lnt

-t=

t-1-tlnt

lnt

设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则 h ′ (t)=1-(1?lnt+t?

)=-lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得 f(a)?(t-1)=

∫

f(x)dx 成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x₀ 的函数值f（x₀ ）与该区间长度的积，即

∫

f(x)dx=f( x 0 )?(b-a) 其中x₀ ∈[a，b]…（14分）