分析学的分支

分析学的诸多经典分支，或分析学各学科的经典部分中，数学分析、单复变函数论和实变函数论具有基础性质，它们全面研究所论函数的基本性态。除此以外，它的大多数分支主要从某个侧面去研究函数。例如，调和分析主要研究函数用傅里叶级数（或傅里叶变换）表示的问题，并利用这种表示去研究函数的性态。事实证明，这是研究函数重要而有效的途径，它的思想和方法在许多数学分支中用到。函数逼近论研究用某些性质良好的函数逼近一般函数的可能性及误差（逼近阶）等性质，以及反过来用这些性质去刻画函数。凸分析主要研究一类重要的非线性函数——凸函数。经典的变分法研究泛函的极值问题，这里的泛函一般限于含有变元函数的积分，因此也可以说它还是研究函数的。在今天，这些以函数为主要对象的经典学科，仍然是分析学的重要组成部分。

分析学的各经典学科多形成于17至19世纪之间，但除去数学分析、单复变函数论和实变函数论的基础内容已基本定型之外，其他的都在不断拓展它们的研究领域。象调和分析是从一元函数的傅里叶级数理论发展起来的，原来也称为傅里叶分析，但现今它的主要内容却是多元（函数的）调和分析和群上的调和分析（抽象调和分析），从研究的问题到方法上都有很大变化。在一些问题中，傅里叶变换逐渐被别的由它演变来的更有力的工具替代，因而很难继续用后一名称来概括它的全部内容。函数逼近论在初期主要讨论用代数的或三角的多项式逼近连续函数的有关问题，而现今所考虑的作为逼近工具的特殊函数和被逼近函数的类型都丰富多了。从这些学科的发展中可以看到，它们的研究对象正随之发生变化。与其说它们研究的仍然是函数，不如说主要是某些函数空间（函数类）和算子（变换）更为恰当，有关研究已推广到了群、流形或其他抽象的基域上。位势论的发展有类似的情况。经典的位势论研究牛顿位势（一类偏微分方程边值问题的积分形式的解），而现代位势论中所讨论的一般位势，实质上与牛顿位势相似，无非是关于某种测度对适当的核的特殊积分算子。群上的位势论也正在发展。对诸如此类的空间及算子抽象、系统的研究属于泛函分析。它是20世纪初发展起来的学科，是经典分析在近代的拓展。
另一个新的分析学科是流形上的分析，一般认为它在20世纪中期才形成独立分支。它研究定义在流形上的函数，而流形上一般没有统一坐标，只在每点存在与欧氏空间中的开集同胚的邻域，因此，流形上的局部分析与经典的欧氏空间的分析相仿，整体分析则复杂得多，流形上的分析指的就是后者（或称大范围分析）。它可以在流形这个全新背景之下，研究与各个经典分析学科相应的问题，是经典分析的现代拓展。例如，大范围变分法充实了大范围分析的内容，它既是变分法的现代发展，又可以看做流形上的分析的一部分。由于流形上的函数的性态与流形本身的几何、拓扑性质密切相关，从而可以认为，流形上的分析是分析学与几何、拓扑、代数互相综合的产物。这也反映了现代数学发展的特点。