关于复合的连续函数替换定理 (既同济高数第六版 66页 定理3)的证明部分没看懂。如下:

2025-02-27 06:43:17
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回答1:

①先说说第五节定理6中的条件(简称为)“g(x)≠u0”的必要性:
看这个例子:
g(x)=1 (x∈R),
f(u)为分段函数:当u≠1时,f(u)=u;当u=1时,f(u)=2,
取x0=1,则u0=1,【g(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2,2≠1,
即lim(x→1)f(g(x))≠A,即定理6的结论不成立。
所以,一定要有条件“g(x)≠u0”。

②再解释为什么在上述定理3中,条件“g(x)≠u0”已无必要:
对照着比较一下第五节定理6与上述定理3的条件,
不同之处是,
第五节定理6有条件如下
“Lim(u→u0) f(u)=A,且存在δ0>0,当x∈(x0,δ0)的去心邻域时,有g(x)≠u0”
上述定理3有条件如下
“y=f(u)在u=u0连续”
即Lim(u→u0) f(u)=f(u0),这里的f(u0)作为了第五节定理6中的A。

在第五节定理6,条件“Lim(u→u0) f(u)=A”意味着极限存在;
在上述定理3,条件“Lim(u→u0) f(u)=f(u0)”不仅保证了极限存在,
并且还连续,有A=f(u0)。

下面分两种情况讨论:
情况一,
对于使“g(x)≠u0”的x,第五节定理6的条件已经满足,
则依照第五节定理6的证明,可知┃f[g(x)]-f(u0)┃<ε;
情况二,
对于使“g(x)=u0”的x,必有┃f[g(x)]-f(u0)┃=┃f[u0]-f(u0)┃=0<ε。
所以,不论哪种情况,都有┃f[g(x)]-f(u0)┃<ε。
如此,上述定理3得证。

③顺便说,
说明了:条件“连续”比“极限存在”强。
只有极限值等于函数值才是连续的。

回答2:

首先某点的极限值等于函数值才是连续的,这是连续性的定义。
为了完整解决问题,能否把第五章定理6描述一下?现在我只能猜测,第五章定理6是关于极限的定理,还没讲到连续,而某点的极限是不需要“g(x)等于u0”这么强的条件的。