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x*(dy⼀dx)-y+(x^2-y^2)^(1⼀2)=0 求方程的解

2025-01-03 03:29:55

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回答1：

x(dy/dx)-y+√(x²-y²)=0 ；求方程的通解。
解：dy/dx=y/x-[√(x²-y²)]/x=y/x-√[1-(y/x)²]
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)；
代入原式得u+x(du/dx)=u-√(1-u²)
消去u，得x(du/dx)=-√(1-u²)
分离变量得du/√(1-u²)=-dx/x
积分之得arcsinu=-ln∣x∣+ln∣c∣=ln∣c/x∣
即u=sin[ln∣c/x∣]，代入y=ux，即得原方程的通解为y=xsin[ln∣c/x∣]

回答2：

xdy-ydx+(x^2-y^2)^(1/2)dx=0
(xdy-ydx)/(x^2-y^2)^(1/2)+dx=0
d(y/x)/[1-(y/x)^2]^(1/2)+dx=0
arcsin(y/x)+x=C
y=xsin(C-x)