一元三次方程的求根公式？

三次方程或槐竖

[x3－1=0] 方程 x3－1=0

的三个根为 x1=1, x2=ω=, x3=ω2= (i2=－1) (1)

[x3+px+q=0(卡尔丹公式)] 方程

x3+px+q=0

的三个根为

x1=

x2=ω ω2 (2)

x3=ω2 ω

式中ω,ω2同(1).这叫做卡尔丹公式.

根与系数的关系为

x1+x2+x3=0, x1x2x3=－q

判别式为

=

>0时，有一个实根和两个复根；=0时，有三个实根，当p=q=0时，有一个三重零根；当时，三个实根中有两个相等；<0时衫大，有三个不等的实根.

三个根的三角函数表达式（仅当p<0时）为

x1=2 cosθ

x2=2 cos(θ+120°)

x3=2 cos(θ+240°)

式中

r=, θ=arc cos

[ax3+bx2+cx+d=0] 一般三次方程

ax3+bx2+cx+d=0

上式除以a，并设

x=y

则化为如下的形式

y3+py+q=0

可按（明散2）的情形处理，解出y1，y2，y3，则一般三次方程的三个根为

x1=y1 ， x2=y2 ， x3=y3

三个根与系数的关系为

x1+x2+x3=, , x1x2x3=

盛金公式 　　Shengjin's Formulas 　　一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 　　重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd， 　　总判别式：Δ=B^2－4AC。 　　当A=B=0时，盛金公式①： 　　X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 　　当Δ=B^2－4AC>0时碧纤，盛金公式②： 　　X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； 　　X2，X3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i/(6a)， 　　其中Y1，Y2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/悔激仿2))/2，i^2=－1。 　　当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： 　　X1=－b/a＋K；铅竖X2=X3=－K/2， 　　其中K=B/A，(A≠0)。 　　当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④： 　　X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； 　　X2，X3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 　　其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A＞0，－1＜T＜1)。 详细请见 一元三次方程求根公式（百度百科） http://baike.baidu.com/view/1382952?tp=2_01

一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能携拿将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三饥禅次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）辩肢搭^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了

利用导函数。