矩阵特征值及特征向量关系

2025-02-26 02:25:57

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回答1：

x为矩阵A的特征值，a为A的特征值x对应的特征向量
则Aa=xa
定义
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式
AX=λX
(1)
成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，
(
A-λE)X=0
(2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
|
A-λE|=0
,
(3)

回答2：

1.(a-xe)v1=av1+xev1=av1+xv1=(a+x)v1

所以v1是矩阵a-xe特征值为a+x的特征向量。

2.存在可逆矩阵p，使得p逆ap=对角阵△=（a1,a2,....an），

那么，（p逆ap）（p逆ap）=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an）

p逆a^2p=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an）=（a1^2,....,an^2）

所以a^2=p（a1^2,....,an^2）p逆，特征值为a1^2,....,an^2。