如何求基础解系

设n为未知量个数，r为矩阵的秩。只要找到齐次线性方程组的n-r 个自由未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余n-r 个未知量移到等式右端，再令右端 n-r个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到 n-r个解向量，这 n-r个解向量构成了方程组的基础解系。

Ax=b
A是3×3，b是3×1，x是3×1的吧。
因为你说特解是（2,1,0）的转置嘛。
所以基础解系是就是（0,-2/3,1）的转置呀！
你说的那两个都是4维的啦。
1·x[1]+0·x[2]+0·x[3]=0
（1）
0·x[1]+1·x[2]+2/3·x[3]=0
（2）
不妨另x[3]=1
由（2）可得x[2]=-3/2,
由（1）可得x[1]=0
故通解（0,-2/3,1）

1.方阵的特征值你会求了，这个方阵的特征值是4，-2。
下面是求特征向量（不是你说的“基础解系”）：
对应4的特征向量是系数矩阵为
4-3，-1
-5，4+1
即
1，-1
-5，5
的齐次线性方程组的基础解系，系数矩阵化为行最简型为
1，-1
0，0
这个矩阵对应的方程组只有一个方程:x1-x2=0，取x2=1，求得x1=1，所以特征值4对应的特征向量为：1，1。
对应-2的特征向量是系数矩阵为
-2-3，-1
-5，-2+1
即
-5，-1
-5，-1
的齐次线性方程组的基础解系，系数矩阵化为行最简型为
1，1/5
0，0
这个矩阵对应的方程组只有一个方程:x1+(1/5)x2=0，取x1=1，求得x2=-5，所以特征值-2对应的特征向量为：1，-5。
2.这个矩阵化为行最简型为
1，0，0
0，1，0
0，0，0
这个矩阵对应的方程组为：x1=0，x2=0，x3为自由未知量，取x3=1，解得x1=0，x2=0，所以这个方程组的基础解系为：0，0，1。

“主元为x1
x3
x4后，自由未知量x2
x5”。x1，x3，x4的值取决于自由未知量x2，x5的值。
举例说明：
方程组：
x1－x2－x3+x4＝0
x1－x2+x3－3x4＝0
x1－x2－2x3+3x4＝0
系数矩阵A经过初等行变换化为（化成行最简形）：
1，－1，0，－1
0，
0，1，－2
0，
0，0，
0
A的秩等于2<4，所以方程组有非零解。
与原方程组通解的方程组是：
x1－x2
－x4＝0
x3－2x4＝0
有二个未知量是自由未知量，比如取x2，x4为自由未知量，则
x1＝x2+x4
x3＝2x4
设x2＝c1，x4＝c2，则x1＝c1+c2，x3＝2c2，方程组的通解是：
x＝（c1+c2，c1，3c2，c2）＝c1（1，1，0，0）+c2（0，0，2，1）
这里可以证明（1，1，0，0），（0，0，2，1）线性无关，所以它们就是方程组的基础解系。而这个基础解系的由来可以看作是让自由未知量x2，x4分别取（1，0）和（0，1）后得到两个的解向量。（之所以取（1，0）和（0，1）是为了保证线性无关）
所以一般的解法就是先求基础解系，再表示通解。方法就是初等变换后得到通解方程组，确定自由未知量，让自由未知量取形如（1，0，0，...，0），（0，1，0，...，0），...，（0，0，0，...，1）的值，对应的解向量就是基础解系。