已知y=loga(2-ax)在区间(0,1)上是x的减函数,求a的取值范围

2025-04-24 00:35:56
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回答1:

复合函数的增减性有以下规律:
如果f(x)与g(x)同为增函数/同为减函数,则f(g(x))为增函数。
如果f(x)与g(x)一个为增函数,一个为减函数,则f(g(x))为减函数。
在此题里可以看成f(x)=log_a(x),g(x)=2-ax。由对数函数的定义,a作为底数必然大于0,因此g(x)是减函数,要想f(g(x))为减函数,f(x)应为增函数,即a>1。
另一方面,我们还需要保证函数在(0,1)上有意义,即2-ax在(0,1)上大于0,由于2-ax是减函数,只需保证在1处不小于0,即2-a≥0,即a≤2。
综上,a的取值范围是1

回答2:

令y=logat,t=2-ax,
(1)若0<a<1,则函y=logat,是减函数,
由题设知t=2-ax为增函数,需a<0,故此时无解;
(2)若a>1,则函数y=logat是增函数,则t为减函数,
需a>0且2-a×1>0,可解得1<a<2
综上可得实数a 的取值范围是(1,2).